Question

如图（1）在等腰△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC边的中点，现将△ACD沿CD翻折，使得平面ACD⊥平面BCD．（如图（2））
（1）求证：AB∥平面DEF；
（2）求证：BD⊥AC；
（3）设三棱锥A-BCD的体积为V₁、多面体ABFED的体积为V₂，求V₁：V₂的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用三角形中位线定理证明EF∥AB，再利用线面平行的判定定理证明AB∥平面DEF即可；
（2）先利用面面垂直的性质定理证明BD⊥平面ACD，再利用线面垂直的定义证明BD⊥AC即可；
（3）先利用面面垂直的性质定理证明AD⊥平面BCD，从而得三棱锥A-BCD的体积为V₁、再利用线面垂直的性质求三棱锥E-CDF的体积为，从而得多面体的体积为，从而确定所求体积之比
解答：解：（1）证明：如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF∥AB，
又AB?平面DEF，EF?平面DEF，
∴AB∥平面DEF．
（2）∵平面ACD⊥平面BCD于CD
BD⊥CD，且BD?平面BCD
∴BD⊥平面ACD，又AC?平面ACD
∴BD⊥AC．
（3））∵平面ACD⊥平面BCD于CD
AD⊥CD，且AD?平面ACD
∴AD⊥平面BCD
∴AD是三棱锥A-BCD的高
∴
又∵E、F分别是AC、BC边的中点，
∴三棱锥E-CDF的高是三棱锥A-BCD高的一半，即
三棱锥E-CDF的底面积是三棱锥A-BCD底面积的一半，即S_△BCD
∴三棱锥E-CDF的体积
∴
∴V₁：V₂=4：3．
点评：本题主要考查了线面平行的判定定理，面面垂直的性质定理，线面垂直的定义和性质，三棱锥体积的计算公式，辨清几何体中的垂直关系是解决本题的关键