Question

已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线l：mx-y+1-m=0
（1）求证：直线l恒过定点；
（2）设l与圆交于A、B两点，若|AB|=

17

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由于m的任意性，把直线l的方程化为（x-1）m-y+1=0，令x-1=0和-y+1=0求解；
（2）利用弦长先求出弦心距，再由圆心到直线的距离求出m的值．

解答：（1）证明：把直线l的方程化为（x-1）m-y+1=0，由于m的任意性，
∴

x-1=0 -y+1=0

，解得x=1，y=1
∴直线l恒过定点（1，1）．
（2）解：由题意知，圆心C（0，1），半径R=

5

；
∵l与圆交于A、B两点且|AB|=

17

，
∴圆心C到l得距离d=

R2-( 1 2 |AB|)2

=

5- 17 4

=

3

2

，
∵直线l：mx-y+1-m=0
∴d=

|0-1+1-m|

m2+1

=

3

2

，解得m=±

3

，
∴所求直线l为

3

x-y+1-

3

=0，或

3

x+y-1-

3

=0．

点评：本题考点是直线过定点问题转化为方程恒成立问题，以及圆与直线相交时半径、弦长的一半和弦心距的关系和点到直线的距离公式．