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已知△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=6,向量
a
=(2sinc,-
3
),
b
=(cos2c,2cos2
c
2
-1)且
a
b

(1)求锐角C的大小;
(2)求△ABC的面积S△ABC的取值范围.
分析:(1)△ABC中,由
a
b
,可得 sin2C=-
3
cos2C,可得 tan2C=-
3
,由此求得 C的值.
(2)由余弦定理可得 a2+b2=ab+36,再利用基本不等式求得 ab≤36,再根据S△ABC=
3
4
ab,求得它的最大值,从而得到△ABC的面积S△ABC的取值范围.
解答:解:(1)△ABC中,∵
a
b
,∴2sinC (2cos2
C
2
-1)=-
3
cos2C,∴sin2C=-
3
cos2C,∴tan2C=-
3
,∴C=
π
3

(2)∵C=
π
3
,c=6,由余弦定理可得 c2=a2+b2-2ab•cosC,可得 a2+b2=ab+36.
又  a2+b2≥2ab 代入上式得:ab≤36 (当且仅当a=b=6时等号成立.)
∴S△ABC=
1
2
ab•sinC=
3
4
ab≤9
3
(当且仅当a=b=c时等号成立.) 
∴S△ABC 的面积的取值范围为(0,9
3
].
点评:本题主要考查两个向量共线的性质,同角三角函数的基本关系、基本不等式的应用,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量
m
=(2sinB,
3
)
n
=(2cos2
B
2
-1,cos2B)
,且
m
n

(1)求锐角B的大小;
(2)如果b=2,求△ABC的面积S△ABC的最大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量
m
=(2sinB,
3
),
n
=(cosB,cos2B),且
m
n

(Ⅰ)求锐角B的大小,
(Ⅱ)如果b=2,求ac的最大值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量
m
=(2sinB,
3
)
n
=(2cos2
B
2
-1,cos2B)
,且
m
n

(1)求锐角B的大小;
(2)如果b=2,求△ABC的面积S△ABC的最大值.

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科目:高中数学 来源:2010年陕西省西安市西工大附中高考数学八模试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

已知△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量,且
(1)求锐角B的大小;
(2)如果b=2,求△ABC的面积S△ABC的最大值.

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