Question

设全集U=R，关于x的不等式|x+2|+a-2＞0（a∈R）的解集为A．
（1）分别求出当a=1和a=3时的集合A；
（2）设集合B={x|

3

sin(πx-

π

6

)+cos(πx-

π

6

)=0}，若（C_UA）∩B中有且只有三个元素，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据所给的a的值，代入不等式，根据绝对值不等式的意义，写出不等式的解集，当a=1时，A=（-∞，-3）∪（-1，+∞），当a=3时，A=R．
（2）由|x+2|+a-2＞0可以得到：|x+2|＞2-a，当a＞2，解集是R，根据a的取值不同，写出对应的补集，根据集合的交并运算求出结果．

解答：解：（1）当a=1时，A=（-∞，-3）∪（-1，+∞）…（3分）
当a=3时，A=R…（6分）
（2）由|x+2|+a-2＞0可以得到：|x+2|＞2-a．
当a＞2，解集是R；
当a≤2时，解集是{x|x＜a-4或x＞-a}…（8分）
（i）当a＞2时，C_UA=φ，不合题意；
（ii）当a≤2时，C_UA={x|a-4≤x≤-a}…（10分）
因

3

sin(πx-

π

6

)+cos(πx-

π

6

)=2[sin(πx-

π

6

)cos

π

6

+cos(πx-

π

6

)sin

π

6

]
=2sinπx
由sinπx=0，得πx=kπ（k∈Z），即x=k∈Z，所以B=Z…（12分）
当（C_UA）∩B有3个元素时，a就满足

a＜2 -4＜a-4≤-3 -1≤-a＜0

可以得到：0＜a≤1…（14分）

点评：本题考查集合的运算和不等式的解集的求法，本题解题的关键是求出不等式的解集和熟练应用集合之间的关系，本题是一个中档题目．