Question

【题目】已知圆M的圆心M在x轴上，半径为1，直线 ，被圆M所截的弦长为 ，且圆心M在直线l的下方． （Ⅰ）求圆M的方程；
（Ⅱ）设A（0，t），B（0，t+6）（﹣5≤t≤﹣2），若圆M是△ABC的内切圆，求△ABC的面积S的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设圆心M（a，0），由已知，得M到l：8x﹣6y﹣3=0的距离为 ，∴ ， 又∵M在l的下方，∴8a﹣3＞0，∴8a﹣3=5，a=1，故圆的方程为（x﹣1）2+y2=1．
（Ⅱ）设AC斜率为k1 ， BC斜率为k2 ， 则直线AC的方程为y=k1x+t，直线BC的方程为y=k2x+t+6．由方程组 ，得C点的横坐标为 ，∵|AB|=t+6﹣t=6，∴ ，
由于圆M与AC相切，所以 ，∴ ；同理， ，
∴ ，
∴ ，
∵﹣5≤t≤﹣2，∴﹣2≤t+3≤1，
∴﹣8≤t2+6t+1≤﹣4，∴ ，
【解析】（I）设圆心M（a，0），利用M到l：8x﹣6y﹣3=0的距离，求出M坐标，然后求圆M的方程；（II）设A（0，t），B（0，t+6）（﹣5≤t≤﹣2），设AC斜率为k1 ， BC斜率为k2 ， 推出直线AC、直线BC的方程，求出△ABC的面积S的表达式，求出面积的最大值和最小值．