Question

已知函数y=f（x）同时满足：
（1）定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）且f（-x）=f（x）恒成立；
（2）对任意正实数x₁，x₂，若x₁＜x₂有f（x₁）＞f（x₂），且f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
试写出符合条件的函数f（x）的一个解析式

y=log₂|x|

．

Answer 1

分析：结合条件f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），可判断此函数定与对数函数有关，再结合奇偶性和单调性，确定此函数为自变量带绝对值函数，即由对数函数经翻折变换得到的函数，写出一个解析式即可

解答：解：性质（1）反映函数f（x）在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上为偶函数，
性质（2）反映函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且能将积的运算转化为运算的和
二者结合，满足条件f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）的函数可以时对数函数，
还要满足为在（-∞，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数的偶函数
故此函数可以为 y=log₂|x|（底数不唯一）
故答案为 y=log₂|x|

点评：本题主要考查了抽象函数表达式的意义和应用，对数函数的图象和性质，根据函数性质构造函数的能力，有一定的思维量