Question

2．椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+$\sqrt{6}$=0相切
（1）求椭圆C的方程；
（2）若Q（1，0），设A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意不相同的两点，连接AQ交椭圆C于另一点E，证明直线BE与x轴交于定点P．

Answer 1

分析 （1）由椭圆C的离心率为$\frac{1}{2}$，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+$\sqrt{6}$=0相切，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设B（x₀，y₀），A（x₀，-y₀），AB：y=$\frac{{y}_{0}}{1-{x}_{0}}$（x-1），结合$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$以及$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}=1$，得：（15-6x₀）x²-6（4-x₀²）x+24x₀-15${{x}_{0}}^{2}$=0，由韦达定理求出直线BE，由此能证明直线BE与x轴交于定点P．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，以原点为圆心，
椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+$\sqrt{6}$=0相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{|\sqrt{6}|}{\sqrt{2}}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
证明：（2）如图，设B（x₀，y₀），
A（x₀，-y₀），
AB：y=$\frac{{y}_{0}}{1-{x}_{0}}$（x-1），结合$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$以及$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}=1$，
得：（15-6x₀）x²-6（4-x₀²）x+24x₀-15${{x}_{0}}^{2}$=0，
由韦达定理得${x}_{0}{{x}_{E}}_{\;}^{\;}$=$\frac{{x}_{0}（8-5{x}_{0}）}{5-2{x}_{0}}$，
解得E（$\frac{8-8{x}_{0}}{5-2{x}_{0}}$，$\frac{3{y}_{0}}{5-2{x}_{0}}$），
∴直线BE：y-y₀=$\frac{{y}_{0}（-2+2{x}_{0}）}{8-10{x}_{0}+2{{x}_{0}}^{2}}$（x-x₀），
令y=0，解得P（4，0），
∴直线BE与x轴交于定点P（4，0）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与x轴交于定点的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆方程、直线方程的性质的合理运用．