Question

对于函数f(x)=

x

1+|x|

 (x∈R)，下列判断中，正确结论的序号是

①②

（请写出所有正确结论的序号）．
①f（-x）+f（x）=0；      
②当m∈（0，1）时，方程f（x）=m总有实数解；
③函数f（x）的值域为R；   
④函数f（x）的单调减区间为（-∞，+∞）．

Answer 1

分析：①利用奇函数的定义即可判断出；
②先求出函数的值域即可判断出；
③由②可知不正确；
④可利用导数得出其单调性．

解答：解：①∵f（-x）+f（x）=

-x

1+|x|

+

x

1+|x|

=0，（x∈R），∴①正确；
②∵-|x|≤x≤|x|，∴-1＜-

|x|

1+|x|

≤

x

1+|x|

≤

|x|

1+|x|

＜1，
∴函数f（x）的值域是（-1，1）．
因此当m∈（0，1）时，方程f（x）=m总有实数解，
∴②正确；
③由②判断可知③不正确；
④由①可知：函数f（x）是奇函数．
又∵f（x）=

x 1+x ，当x≥0时 x 1-x ，当x＜0时

，
当x≥0时，f′(x)=

1

(1+x)2

＞0，∴函数f（x）在[0，+∞）上单调递增；
由函数f（x）是奇函数，∴函数f（x）在（-∞，0）也单调递增，且在x=0时连续，故函数f（x）在R上单调递增．
因此④不正确．
综上可知：正确答案为①②．
故答案为①②．

点评：熟练掌握函数的单调性和奇偶性是解题的关键．