Question

在五棱锥P-ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=a，BC=DE=a，
∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．
（1）求证：PA⊥平面ABCDE；
（2）若G为PE中点，求证：平面PDE
（3）求二面角A-PD-E的正弦值；
（4）求点C到平面PDE的距离

Answer 1

（1）见解析（2）见解析（3）（4）a

（1）证明∵PA=AB=2a，PB=2a,∴PA²+AB²=PB²，
∴∠PAB=90°，
即PA⊥AB．同理PA⊥AE．∵AB∩AE=A，∴PA⊥平面ABCDE．（2）∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．
∴ED⊥平面PAE，所以DE⊥AG。，为中点，所以AG⊥PE，
∴AG⊥平面PDE                           
（3）∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE，
∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE．过A作AG⊥PE于G，过DE⊥AG，
∴AG⊥平面PDE．过G作GH⊥PD于H，连AH，由三垂线定理得AH⊥PD．
∴∠AHG为二面角A-PD-E的平面角．                              
在直角△PAE中，AG＝a．在直角△PAD中，AH＝a，
∴在直角△AHG中，sin∠AHG＝＝．
∴二面角A-PD-E的正弦值为．           
（4）∵∠EAB=∠ABC=∠DEA="90°, " BC=DE=a,AB=AE=2a, 取AE中点F，连CF，
∵AF∥=BC,∴四边形ABCF为平行四边形
．∴CF∥AB，而AB∥DE，∴CF∥DE，而DE平面PDE，CF平面PDE，
∴CF∥平面PDE．∴点C到平面PDE的距离等于F到平面PDE的距离．
∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥DE．又∵DE⊥AE，∴DE⊥平面PAE．
∴平面PAE⊥平面PDE．∴过F作FG⊥PE于G，则FG⊥平面PDE．
∴FG的长即F点到平面PDE的距离．  
在△PAE中，PA=AE=2a，F为AE中点，FG⊥PE， 
∴FG=a．∴点C到平面PDE的距离为a．