Question

（2009•南汇区二模）设F₁、F₂分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，其右焦点是直线y=x-1与x轴的交点，短轴的长是焦距的2倍．
（1）求椭圆的方程；
（2）若P是该椭圆上的一个动点，求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值；
（3）若P是该椭圆上的一个动点，点A（5，0），求线段AP中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）利用右焦点是直线y=x-1与x轴的交点，短轴的长是焦距的2倍，可求c=1，且b=2c=2，从而可求椭圆的标准方程；
（2）用坐标表示向量，结合椭圆的范围，从而确定向量数量积的最大值；
（3）设设M（x，y），利用M是AP的中点，求得P点坐标为（2x-5，2y），代入椭圆方程可求解．

解答：解：（1）易知直线y=x-1与x轴的交点是（1，0），所以c=1，且b=2c=2，
所以椭圆的方程是

x2

5

+

y2

4

=1…（4分）
（2）易知F₁=（-1，0），F₂（1，0）…（6分）
设P（x，y），则

PF1

•

PF2

=(-1-x，-y)•(1-x，-y)=x2+y2-1
=x2+4-

4

5

x2-1=

1

5

x2+3…（8分）∵x∈[-

5

，

5

]，∴当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，

PF1

•

PF2

有最小值3；
当x=±

5

，即点P为椭圆长轴端点时，

PF1

•

PF2

有最大值4     …（10分）
（3）设M（x，y），则P点坐标为（2x-5，2y），…（12分）
代入椭圆方程，得：

(2x-5)2

5

+

(2y)2

4

=1，即

(2x-5)2

5

+y2=1…（16分）

点评：本题的考点是直线与圆锥曲线的综合问题，主要考查椭圆的标准方程，考查向量意解析几何的结合，同时考查代入法求轨迹方程，由一定的综合性