Question

在△ABC中，B(10，0)，直线BC与圆Γ：x²＋(y－5)²＝25相切，切点为线段BC的中点．若△ABC的重心恰好为圆Γ的圆心，则点A的坐标为       ．

Answer 1

(0，15) 或 (－8，－1)

试题分析：设BC的中点为D，设点A（x₁，y₁ ）、C（x₂，y₂），则由题意可得ΓD⊥BC，且D点坐标为，因为D为切点，所以圆心Γ（0，5）到直线AB的距离ΓD=r=5．设BC的方程为即．根据点到直线的距离公式有，解得或．当时，有，解得，当时，有 ，解得再由三角形的重心公式可以求得，或，所以点A的坐标为（0，15）或（-8，-1）．
点评：直线与圆相切，圆心到直线的距离等于圆半径，这个性质经常用到；另外，此类题目一般运算量较大，要仔细运算，不要漏解.