Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，侧面PAD丄底面ABCD，∠APD= ． （I ）求证：平面PAB丄平面PCD；
（II）如果AB=BC，PB=PC，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）因为四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，所以CD⊥AD， 又侧面PAD⊥底面ABCD，所以CD⊥PA．
又∠APD= ，即PA⊥PD，而CD∩PD=D，所以PA⊥平面PCD．
因为PA平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD．
（Ⅱ）解：如图，以AB为x轴，AD为y轴建立空间直角坐标系A﹣xyz．
设AB=2，P（0，a，b）（a＞0，b＞0），
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）．
由PA⊥PD， =（0，﹣a，﹣b）， =（0，2﹣a，﹣b），
得﹣a（2﹣a）+b2=0．①
因为PB=PC，所以22+a2+b2=22+（2﹣a）2+b2 ． ②
由①，②得a=1，b=1．
由（Ⅰ）知， =（0，﹣1，﹣1）是面PCD的一个法向量．
设面PBC的一个法向量为 =（x，y，z），则 =0， =0，
又 =（2，﹣1，﹣1）， =（0，2，0），
所以 取 =（1，0，2）．
因为cos＜ ， ＞=﹣ ，又二面角B﹣PC﹣D为钝角，
所以二面角B﹣PC﹣D的余弦值﹣ ．

【解析】（I）利用ABCD的底面是矩形，可得CD⊥AD，再利用面面垂直的性质及侧面PAD⊥底面ABCD，可得CD⊥PA．由已知可得PA⊥PD，进而得到PA⊥平面PCD．利用面面平行的判定定理即可证明平面PAB⊥平面PCD．（II）如图，以AB为x轴，AD为y轴建立空间直角坐标系A﹣xyz．利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角的余弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面与平面垂直的判定的相关知识，掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．