解：（1）由
，得：
或
（k∈Z），
由
，得：
（k∈Z）．
所以，函数
=
，
函数
=
，
所以，
．
（2）
，
．
当a=0时，则有a（T（x））=T（ax）=0恒成立．
当a＞0时，当且仅当a=1时有a（T（x））=T（ax）=T（x）恒成立．
综上可知当a=0或a=1时，a（T（x））=T（ax）恒成立；
（3）①当
时，对于任意的正整数i∈N
*，1≤i≤n-1，
都有
，
故有
=
=2
nx．
②由①可知当
时，有
，根据命题的结论可得，
当
时，有
，
故有
=-2
nx+2．
因此同理归纳得到，当
（i∈N，0≤i≤2
n-1）时，
=
．
对于给定的正整数m，当
时，
解方程T
m（x）=kx得，
，
要使方程T
m（x）=kx在x∈[0，1]上恰有2
m个不同的实数根，
对于任意i∈N，0≤i≤2
m-1，必须
恒成立，
解得
，若将这些根从小到大排列组成数列{x
n}，
由此可得
（n∈N
*，1≤i≤2
m）．
故数列{x
n}所有2
m项的和为：
=
=
．
分析：（1）由
和
，解出x的范围，然后直接把
代入分段函数解析式即可，
求y=sin（
T（x））的解析式可把T（x）直接代入．
（2）分别写出函数y=aT（x）和y=T（ax）的解析式，由解析式看出当a=0时aT（x）=T（ax）恒成立，
而a＞0时，直接由aT（x）=T（ax）看出a取1时此等式成立；
（3）①当x∈[0，
]时，x∈[0，
），则在函数T（x）=2x的解析式中，依次取x=2x可求y=T
n（x）的解析式；
②根据题目给出的条件：当x∈[
，
]（i∈N
*，1≤i≤2
n-1）时，都有T
n（x）=T
n（
-x）恒成立，
求出当
（i∈N，0≤i≤2
n-1）时的T
n（x）的解析式，再由方程T
m（x）=kx求得当
时，
，那么，数列{x
n}所有2
m项的和可利用分组进行求和．
点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了函数恒成立问题，考查了数列的函数特性及数列的分组求和，特别是（3）中的②涉及到复杂条件下的函数解析式的求解及方程根的问题，需要学生有清晰的头脑，考查了学生进行复杂运算的能力，此题是难度较大的题目．
x））和y=sin（
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x））和y=sin（
T（x））的解析式；
]时，求y=Tn（x）的解析式；
，
]（i∈N*，1≤i≤2n-1）时，都有Tn（x）=Tn（
-x）恒成立．
时，求y=T4（x）的解析式；
时（i∈N*，1≤i≤15），都有
恒成立．