Question

已知函数（a，b∈R），其图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣3=0．

（1）求a，b的值；

（2）求函数f（x）的单调区间和极值；

（3）求函数f（x）在区间[﹣2，5]上的最大值．

Answer 1

考点：

利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

专题：

导数的综合应用．

分析：

（1）求导函数，利用导数的几何意义，结合函数解析式，即可求a，b的值；

（2）求导数，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间和极值；

（3）将函数的极大值与端点函数值，比较，即可求函数f（x）在区间[﹣2，5]上的最大值．

解答：

解：（1）由题意，f′（x）=x²﹣2ax+a²﹣1．                                     …（1分）

又∵函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣3=0，

所以切线的斜率为﹣1，即 f′（1）=﹣1，∴a²﹣2a+1=0，解得a=1．                       …（2分）

又∵点（1，f（1））在直线x+y﹣3=0上，∴f（1）=2，…（3分）

同时点（1，f（1））即点（1，2）在y=f（x）上，∴，…（4分）

即，解得．                                 …（5分）

（2）由（1）有，∴f′（x）=x²﹣2x，…（6分）

由f′（x）=0可知x=0，或x=2，

所以有x、f′（x）、f（x）的变化情况表如下：

x	（﹣∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）		极大值		极小值	

…（8分）

由上表可知，f（x）的单调递增区间是（﹣∞，0）和（2，+∞），单调递减区间是（0，2）； …（10分）

∴函数f（x）的极大值是，极小值是．                  …（11分）

（3）由（2），函数f（x）在区间[﹣2，5]上的极大值是．            …（12分）

又，…（13分）

∴函数f（x）在区间[﹣2，5]上的最大值为．…（14分）

点评：

本题考查导数知识的应用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．