Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．若f（α）=1，α∈（0，

π

3

），则sin2α=

 

．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：由图象得到A的值和四分之一周期，进一步得到周期，由周期公式求出ω，再由五点作图的第四点求得φ，则函数解析式可求，由f（α）=1求出sin（2α+

5π

6

）=

1

3

，进一步求出cos（2α+

5π

6

）的值，配角后展开两角差的正弦得到sin2α的值．

解答： 解：由图可知，A=3，

1

4

T=

7π

12

-

π

3

=

π

4

，
∴T=π，则ω=

2π

T

=

2π

π

=2．
由五点作图的第四点可知，2×

π

3

+φ=

3π

2

，得φ=

5π

6

．
∴f（x）=3sin（2x+

5π

6

）．
由f（α）=1，得3sin（2α+

5π

6

）=1．
sin（2α+

5π

6

）=

1

3

．
∵α∈（0，

π

3

），
∴2α+

5π

6

∈(

5π

6

 ，

3π

2

)．
cos（2α+

5π

6

）=-

1-( 1 3 )2

=-

2 2

3

．
∴sin2α=sin(2α+

5π

6

-

5π

6

)
=sin(2α+

5π

6

)cos

5π

6

-cos(2α+

5π

6

)sin

5π

6

=

1

3

×(-

3

2

)-(-

2 2

3

)×

1

2

=

2 2 - 3

6

．
故答案为：

2 2 - 3

6

．

点评：本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数解析式，考查了三角恒等变换，训练了三角函数值的求法，是中档题．