Question

已知：cotA+cotB+cotC=

3

，A+B+C=π．求证：A=B=C=

π

3

．

Answer 1

考点：三角函数恒等式的证明

专题：推理和证明

分析：依题意得cotA+cotB-

cotAcotB-1

cotA+cotB

=

3

，令cotA+cotB=x，cotAcotB=y，可得y=x²-

3

x+1，cotA，cotB是t²-xt+x²-

3

x+1=0的两根，利用韦达定理及一元二次方程有根的条件，可求得△=0，从而可得A=B=

π

3

，得到结论．

解答： 证明：因为cotA+cotB+cotC=cotA+cotB-cot（A+B）=cotA+cotB-

cotAcotB-1

cotA+cotB

=

3

，
令cotA+cotB=x，cotAcotB=y，
则y=x²-

3

x+1，
cotA，cotB是t²-xt+x²-

3

x+1=0的两根，
所以又△=x²-4x²+4

3

x-4=-（

3

x-2）²≥0得：（

3

x-2）²≤0，又（

3

x-2）²≥0，
所以，（

3

x-2）²=0，解得：x=

2 3

3

，y=

1

3

，此时cotA=cotB，
即cotA=cotB=

3

3

，cotAcotB=

1

3

，
所以A=B=

π

3

，
所以，此三角形为正三角形，即A=B=C=

π

3

．

点评：本题考查三角函数恒等式的证明，考查诱导公式与两角和的余切公式的应用，考查构造函数思想与韦达定理的应用，属于难题．