Question

18．已知f（x）=-（a+1）lnx+ax-$\frac{1}{x}$，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 求函数的导数，讨论a的取值范围，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．

解答 解：函数的定义域为（0，+∞），
f′（x）=-$\frac{a+1}{x}$+a+$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{a{x}^{2}-（a+1）x+1}{{x}^{2}}$=$\frac{（ax+1）（x-1）}{{x}^{2}}$，x＞0，
若a=0，则f′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，由f′（x）＞0得x＞1，由f′（x）＜0得0＜x＜1，即此时函数的增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1），
当a≠0时，f′（x）=$\frac{a（x-1）（x+\frac{1}{a}）}{{x}^{2}}$，
由f′（x）=0得x=1或x=-$\frac{1}{a}$，
若a＞0，则-$\frac{1}{a}$＜0，由f′（x）＞0得x＞1，由f′（x）＜0得0＜x＜1，即此时函数的增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1），
若-$\frac{1}{a}$=1，得a=-1，此时f′（x）=$\frac{-（x-1）^{2}}{{x}^{2}}$＜0，此时函数单调递减，单调递减区间为（0，+∞），
若-1＜a＜0，则-$\frac{1}{a}$＞1，由f′（x）＞0得1＜x＜-$\frac{1}{a}$，此时函数单调递增，递增区间为（1，-$\frac{1}{a}$），
由f′（x）＜0得0＜x＜1或x＞-$\frac{1}{a}$，此时函数单调递减，递减区间为（-$\frac{1}{a}$，+∞），（0，1），
若a＜-1，则-$\frac{1}{a}$＜1，由f′（x）＞0得-$\frac{1}{a}$＜x＜1，此时函数单调递增，递增区间为（-$\frac{1}{a}$，1），
由f′（x）＜0得0＜x＜-$\frac{1}{a}$或x＞1，此时函数单调递减，递减区间为（0，-$\frac{1}{a}$），（1，+∞）．

点评 本题主要考查函数单调性和单调区间的求解，求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键．