Question

【题目】设f（x）=|ax﹣1|+|x+2|，（a＞0）．
（Ⅰ）若a=1，时，解不等式 f（x）≤5；
（Ⅱ）若f（x）≥2，求a的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）若a=1，f（x）= ，

由f（x）的单调性及f（﹣3）=f（2）=5，得f（x）≤5 的解集为{x|﹣3≤x≤2}．

（Ⅱ）f（x）= ，

当x∈（﹣∞，﹣2]时，f（x）单调递减；当x∈[ ，+∞）时，f（x）单调递增，

又f（x）的图象连续不断，所以f（x）≥2，当且仅当f（﹣2）=2a+1≥2，且f（ ）= +2≥2，

求得a≥ ，故a的最小值为

【解析】（Ⅰ）分类讨论化简f（x）的解析式，由f（x）的单调性及f（﹣3）=f（2）=5，得f（x）≤5 的解集．（Ⅱ）由f（x）= 的单调性，以及f（x）的图象连续不断，可得要是f（x）≥2，当且仅当f（﹣2）≥2，且f（ ）≥2，由此求得a的最小值．