Question

等比数列{a_n}是递增的等比数列，且满足a₁a₄=27，a₂+a₃=12．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设等差数列{b_n}的各项为正，其前n项和为T_n，且T₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求T_n．

Answer 1

（1）证明：∵数列{a_n}是等比数列，a₁a₄=27，a₂+a₃=12．
∴a₂a₃=27，a₂+a₃=12
∴a₂、a₃是一元二次方程x²-12x+27=0的两根
∵数列{a_n}是递增的等比数列，
∴a₂=3，a₃=9
∴数列{a_n}的公比q=3，a₁=3
∴a_n=3^n-1．
（2）解：设{b_n}的公差为d，由T₃=15，得b₁+b₂+b₃=15，可得b₂=5
故可设b₁=5-d，b₃=5+d，
∵a₁=3，a₂=3，a₃=9
∴（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）²，
∴d=2或-10
∵等差数列{b_n}的各项为正，∴d＞0，
∴d=2
∴T_n=3n+2=n²+2n
分析：（1）利用等比数列的性质，结合a₁a₄=27，a₂+a₃=12，可得a₂a₃=27，a₂+a₃=12，结合数列{a_n}是递增的等比数列，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）设{b_n}的公差为d，由T₃=15，得b₁+b₂+b₃=15，可得b₂=5，设b₁=5-d，b₃=5+d，从而可得数列的公差，利用求和公式，即可求T_n．
点评：本题考查数列的通项，考查等比数列的性质，考查等差数列的求和，确定数列的通项是关键．