Question

设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{a_n}的集合：

①a_n+1≥;②a_n≤M.其中n∈N^*,M是与n无关的常数.

（1）若{a_n}是等差数列，S_n是其前n项的和，a₄=2,S₄=20，证明{S_n}∈W；

（2）设数列{b_n}的通项为b_n=5n-2ⁿ,且{b_n}∈W，求M的取值范围；

（3）设数列{c_n}的各项均为正整数，且{c_n}∈W，试证c_n≤c_n+1.

Answer 1

(1)证明：设等差数列{a_n}的公差是d，则a₁+3d=2,4a₁+6d=20，解得a₁=8,d=-2,所以S_n=na₁+d=-n²+9n.

由-S_n+1=［(-n²+9n)-(n+2)²+9(n+2)+2(n+1)²-18(n+1)］=-1＜0,

得＜S_n+1,适合条件①.

又S_n=-n²+9n=-(n)²+，所以当n=4或5时，S_n取得最大值20，即S_n≤20，适合条件②.综上所述，{S_n}∈W.

(2)解：因为b_n+1-b_n=5(n+1)-2ⁿ⁺¹-5n+2ⁿ=5-2ⁿ，所以当n≥3时，b_n+1-b_n＜0，此时数列{b_n}单调递减；当n=1，2时，b_n+1-b_n＞0，即b₁＜b₂＜b₃.

因此数列{b_n}中的最大项是b₃=7，所以M≥7.

(3)证明：假设存在正整数k，使得c_k＞c_k+1成立，

由数列{c_n}的各项均为正整数，可得c_k≥c_k+1+1,即c_k+1≤c_k-1.

因为≤c_k+1,所以c_k+2≤2c_k+1-c_k≤2(c_k-1)-c_k=c_k-2.

由c_k+2≤2c_k+1-c_k及c_k＞c_k+1,得c_k+2＜2c_k+1-c_k+1=c_k+1,故c_k+2≤c_k+1-1.

因为≤c_k+2,所以c_k+3≤2c_k+2-c_k+1≤2(c_k+1-1)-c_k+1=c_k+1-2≤c_k-3.

依次类推，可得c_k+m≤c_k-m(m∈N^*).

又存在M，使c_k≤M，总有M＜m，故有c_k+m＜0，这与数列{c_n}的各项均为正整数矛盾！

所以假设不成立，即对于任意n∈N^*,都有c_n≤c_n+1成立.