Question

（2012•徐汇区一模）设a∈R，把三阶行列式

.

2 3    5 1 4 x+a 4    0 2 1    x

.

中第一行第二列元素的余子式记为f（x），且关于x的不等式f（x）＜0的解集为（-2，0）．各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，点列（a_n，S_n）（n∈N^*）在函数y=f（x）的图象上．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若bn=2an，求

lim

n→∞

2bn-1

bn+2

的值；
（3）令cn=

an，n为奇数 c n 2 ，n为偶数

，求数列{c_n}的前20项之和．

Answer 1

分析：（1）由条件可知，f（x）=

1

4

x²+ax，利用不等式f（x）＜0的解集为（-2，0），可求a，从而可得函数y=f（x）的解析式；
（2）利用点列（a_n，S_n）（n∈N^*）在函数y=f（x）的图象上，可得所以S_n=

1

4

an2+

1

2

an，利用当n≥2时，由=S_n-S_n-1，可得数列{a_n}为等差数列，从而可得a_n=2n，b_n=2²ⁿ=4ⁿ，进而可求

lim

n→∞

2bn-1

bn+2

；
（3）分n为奇数、偶数分别求和，即可求得数列{c_n}的前20项之和．

解答：解：（1）由条件可知，f（x）=

1

4

x²+ax…（2分）
因为关于x的不等式f（x）＜0的解集为（-2，0），所以a=

1

2

…（3分）
即函数y=f（x）的解析式为f（x）=

1

4

x²+

1

2

x…（4分）
（2）因为点列（a_n，S_n）（n∈N^*）在函数y=f（x）的图象上，所以S_n=

1

4

an2+

1

2

an
n=1代入，a₁=S₁=

1

4

a12+

1

2

a1，即

1

4

a12-

1

2

a1=0，
因为a₁＞0，所以a₁=2；…（6分）
当n≥2时，由a_n=S_n-S_n-1，化简可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，…（8分）
因为a_n＞0，所以a_n-a_n-1=2，即数列{a_n}为等差数列，且a_n=2n（n∈N^*）…（10分）
则b_n=2²ⁿ=4ⁿ，所以

lim

n→∞

2bn-1

bn+2

=

lim

n→∞

2×4n-1

4n+2

=2…（12分）
（3）n为奇数时，c₁+c₃+…+c₁₉=a₁+a₃+…+a₁₉=

10(a1+a19)

2

=200…（14分）
n偶数时，c₂+c₄+…+c₂₀=c₁+c₂+…+c₁₀=4c₁+2c₃+2c₅+c₇+c₉=72…（16分）
所以，数列{c_n}的前20项之和为200+72=272…（18分）

点评：本题考查数列与函数的关系，考查数列通项的求解，考查数列求和，确定数列通项是关键．