Question

已知公比为q（0＜q＜1）的无穷等比数列{a_n}各项的和为9，无穷等比数列{a_n²}各项的和为

81

5

．
（1）求数列{a_n}的首项a₁和公比q；
（2）对给定的k（k=1，2，3，…，n），设数列T^（k）是首项为a_k，公差为2a_k-1的等差数列，求数列T^（2）的通项公式及前10项的和．

Answer 1

分析：（1）根据所给的两个无穷等比递缩数列，利用教材中所给的各项之和的公式写出关于首项和公比的方程，解方程即可．
（2）根据第一问做出的结果，写出数列的首项和公差，进而写出数列的通项，求出数列的前10项之和，得到结果．

解答：解：（1）依题意可知，

a1 1-q =9 a12 1-q2 = 81 5

?

a1=3 q= 2 3

（2）由（1）知，
数列T^（2）的首项为t₁=a₂=2，公差d=2a₂-1=3
T^（2）=2+（n-1）×3=3n-1（n∈N^*）
S10=10×2+

1

2

×10×9×3=155，
即数列T^（2）的前10项之和为155．

点评：本题是一个数列求和的问题，这种问题在解题时注意看清数列的特征，看出数列是一个特殊数列，可以应用数列的求和公式做出结果，这是求数列的和的题目中比较简单的问题．