Question

在平面直角坐标系xOy中，Ω是一个平面点集，如果存在非零平面向量

a

，对于任意P∈Ω，均有Q∈Ω，使得

OQ

=

OP

+

a

，则称

a

为平面点集Ω的一个向量周期．现有以下四个命题：
①若平面点集Ω存在向量周期

a

，则k

a

（k∈Z，k≠0）也是Ω的向量周期；
②若平面点集Ω形成的平面图形的面积是一个非零常数，则Ω不存在向量周期；
③若平面点集Ω={（x，y）|x＞0，y＞0}，则

b

=（-1，2）为Ω的一个向量周期；
④若平面点集Ω={（x，y）|y=|sinx|-|cosx|}，则

c

=（

π

2

，0）为Ω的一个向量周期．
其中正确的命题个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：利用向量周期的意义和向量共线定理即可得出．

解答：解：由向量周期的意义可知：存在非零平面向量

a

，对于任意P∈Ω（Ω为平面内的一个点集），均有Q∈Ω，使得

OQ

=

OP

+

a

，即

PQ

=

a

，称

a

为平面点集Ω的一个向量周期．
①∵平面点集Ω存在向量周期

a

，∴对于任意P∈Ω，均有Q∈Ω，使得

OQ

=

OP

+

a

，∴k

OQ

=k

OP

+k

a

（k≠0），因此k

a

为平面点集Ω的一个向量周期，因此正确．
②若平面点集Ω形成的平面图形的面积是一个非零常数，则Ω不存在向量周期，利用①由反证法即可得出；
③若平面点集Ω={（x，y）|x＞0，y＞0}，假设对于任意P（x₁，y₁）∈Ω，均有Q（x₂，y₂）∈Ω，（x_i，y_i＞0，i=1，2），使得

PQ

=

b

=(-1，2)，则

x2-x1=-1 y2-y1=2

，解得

x2=x1-1 y2=y1+2

则x₂=x₁-1＞0，∴x₁＞1，不满足?x₁＞0的条件，因此不正确；
④由平面点集Ω={（x，y）|y=|sinx|-|cosx|}，可知：x∈R，y²=1-|sin2x|，∴y∈[-1，1]．
?P（x，y）∈Ω，则

OP

+

c

=(x+

π

2

，y)，y=|sin(x+

π

2

)|-|cosx|=|cosx|-|cosx|=0∈Ω，
∴

c

=（

π

2

，0）为Ω的一个向量周期．故正确．
综上可知：只有①②④正确．
故选：C．

点评：本题考查了新定义、向量周期、向量的运算及其共线定理，考查了推理能力和解决实际问题的能力，属于难题．