Question

12．下面有四个命题：①函数y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π．②函数f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象关于直线x=$\frac{11}{12}$π对称；③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点．④把函数y=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象向右平移$\frac{π}{6}$得到y=3sin2x的图象．其中真命题的序号是①②④．（写出所有真命题的编号）

Answer 1

分析 根据二倍角的余弦公式，平方差公式，同角三角形函数平方关系，化简解析式，再由余弦函数的周期性，可以判断①的真假；根据正弦函数的图象和性质，可以判断②③的真假；根据函数图象的平移变换法则，可以判断④的真假；进而得到答案．

解答 解：函数y=sin⁴x-cos⁴x=（sin²x+cos^•x）•（sin²x-cos²x）=-cos2x的最小正周期是π，故①正确；
函数y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）图象的对称轴方程是x=$\frac{kπ}{2}+\frac{5π}{12}$，k∈Z，当k=1时，x=$\frac{11π}{12}$，故②正确；
在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有一个公共点，故③错误；
把函数y=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象向右平移$\frac{π}{6}$得到y=3sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]=3sin2x的图象，故④正确．
故答案为：①②④．

点评 本题考查的知识点是命题的真假判断及其应用，余弦型函数的周期性，终边相同的角，正弦函数的性质，图象的平移变换，及三角函数的单调性，熟练掌握上述基础知识，并判断出题目中4个命题的真假，是解答本题的关键．