Question

【题目】已知函数。

（I）若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围；

（II）若函数有两个极值点且，求证

Answer 1

【答案】（I）（Ⅱ）见证明

【解析】

（I）求得函数的导数，把函数在区间上是单调递增函数，转化为在上恒成立，即可求解．

（II）求得，把函数有两个极值点，转化为在内有两根，设，根据二次函数的性质求得，同时利用韦达定理，化简得，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解．

（I）由题意，函数，则，

又函数在区间上是单调递增函数，故在上恒成立，

即在上恒成立，故在上恒成立，

设，，则

故实数的取值范围为；

（II）易知，

依题意可知在内有两根，且，

设，则有，

又，

由根与系数关系有，

故，

令，

则有，，

又，，故存在唯一，使得

易知当时有，当时有，

故在上单调递减，在上单调递增，

又，，故对，均有，

故在上单调递减，又，，故，

即，命题得证．