Question

【题目】设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N* ， 都有（an﹣1）（an+3）=4Sn ， 其中Sn为数列{an}的前n项和．
（1）求证数列{an}是等差数列；
（2）若数列{ }的前n项和为Tn ， 求Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵对任意n∈N*，都有（an﹣1）（an+3）=4Sn，即 ．

∴当n≥2时，4an=4（Sn﹣Sn﹣1）= ﹣ = ﹣2an﹣1，

化为（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，

∵对任意n∈N*，an＞0．

∴an+an﹣1＞0．

∴an﹣an﹣1=2．

∴数列{an}是等差数列，公差为2

（2）解：由（1），a1=3，d=2，∴an=3+2（n﹣1）=2n+1．

∴ =4n（n+1），

∴ = = ，n∈N*；

∴Tn=

【解析】（1）由已知利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1”即可求得an与an﹣1的关系，进而证明数列{an}是等差数列．（2）利用（1）可得 = = ，n∈N* ， 再利用“裂项求和”即可得出．
【考点精析】关于本题考查的数列的前n项和和数列的通项公式，需要了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能得出正确答案．