Question

10．若sin⁶α+cos⁶α=$\frac{1}{4}$，求cos2015α的值．

Answer 1

分析 由同角三角函数间的基本关系得到sin²α+cos²α=1，变形后代入已知等式代入求出cosα的值，确定出α的度数，代入原式计算即可得到结果．

解答 解：∵sin²α+cos²α=1，∴sin²α=1-cos²α，
∴sin⁶α+cos⁶α=（sin²α）³+cos⁶α=$\frac{1}{4}$，
把sin²α=1-cos²α代入得：（1-cos²α）³+cos⁶α=$\frac{1}{4}$，
整理得：（2cos²α-1）²=0，
∴2cos²α-1=0，即cos²α=$\frac{1}{2}$，
∴cosα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即α=$\frac{π}{4}$，
则cos2015α=cos$\frac{2015π}{4}$=cos（504π-$\frac{π}{4}$）=cos（-$\frac{π}{4}$）=cos$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．