Question

平面内给定三个向量

a

=(3，2)，

b

=(-1，2)，

c

=(4，1)，回答下列三个问题：
（1）试写出将

a

用

b

，

c

表示的表达式；
（2）若(

a

+k

c

)⊥(2

b

-

a

)，求实数k的值；
（3）若向量

d

满足(

d

+

b

)∥(

a

-

c

)，且|

d

-

a

|=

26

，求

d

．

Answer 1

分析：（1）先设设

a

=m

b

+n

c

，然后将坐标代入解二元一次方程组即可求出结果；
（2）首先表示出向量，然后利用两个向量共线的条件x₁•y₂-x₂•y₁=0．
（3）利用两个向量共线的条件x₁•y₂-x₂•y₁=0  及且|

d

-

a

|=

26

，解出向量

d

的坐标．

解答：解：（1）设

a

=m

b

+n

c

，m，n∈R，
则（3，2）=m（-1，2）+n（4，1），即

-m+4n=3 2m+n=2

，∴m=

5

9

，n=

8

9

∴

a

=

5

9

b

+

8

9

c

．
（2）

a

+k

c

=(3+4k，2+k)，2

b

-

a

=(-5，2)
由(

a

+k

c

)⊥(2

b

-

a

)知，（-5）（3+4k）+2（2+k）=0∴k=-

11

18

．
（3）设

d

=(x，y)，x，y∈R
则

d

+

b

=(x-1，y+2)，

a

-

c

=(-1，1)
由(

d

+

b

)∥(

a

-

c

)知，（x-1）+（y+2）=0，即x+y+1=0①
又|

d

-

a

|=

26

，即（x-3）²+（y-2）²=26②
联立①②，解得

x=2 y=-3

或

x=-2 y=1

∴

d

=(2，-3)或

d

=(-2，1)．

点评：本题考查向量共线的条件及向量的模的概念，熟练掌握向量平行的条件，属于基础题．