【题目】已知函数
(1)作出函数f(x)的大致图象;
(2)写出函数f(x)的单调区间;
(3)当时,由图象写出f(x)的最小值.
【答案】(1); (2)增区间为,减区间为;(3).
【解析】
(1)化简函数的解析式为f(x)=,再利用二次函数的图象特征作出函数的图象;
(2)由(1)结合函数的图象可得函数f(x)的单调减区间以及单调增区间.
(3)分当≥1 和当0<<1两种情况,结合图象利用函数的单调性求出函数的最小值.
(1)函数f(x)=|x|(x﹣a)=,如图所示:
(2)由(1)可得函数f(x)的单调减区间为(0,),
单调增区间为(﹣∞,0),(,+∞).
(3)x>0时,f(x)=x2﹣ax,f(x)的图象的对称轴为x=.
由a>0,可得当x∈[0,1]时,
若≥1,即a≥2时,fmin(x)=f(1)=1﹣a.
若0<<1,即0<a<2时,fmin(x)=f()=﹣.
综上:
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【题目】在一个半径为1的半球材料中截取两个高度均为的圆柱,其轴截面如图所示.设两个圆柱体积之和为.
(1)求的表达式,并写出的取值范围;
(2)求两个圆柱体积之和的最大值.
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【题目】已知函数f(x)=ax-1(a>0且a≠1).
(1)若函数y=f(x)的图象经过点P(3,4),求a的值;
(2)当a变化时,比较f(lg)与f(-2.1)的大小,并写出比较过程.
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【题目】如图,D、E分别是△ABC的边BC的三等分点,设 =m, =n,∠BAC= .
(1)用 、 分别表示 , ;
(2)若 =15,| |=3 ,求△ABC的面积.
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【题目】设p:A={x|2x2﹣3ax+a2<0},q:B={x|x2+3x﹣10≤0}.
(1)求A;
(2)当a<0时,若¬p是¬q的必要不充分条件,求a的取值范围.
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【题目】己知函数f(x)=xlnx.
(1)求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)对x≥1,f(x)≤m(x2﹣1)成立,求实数m的最小值;
(3)证明:1n .(n∈N*)
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【题目】设顶点在原点,焦点在轴上的拋物线过点,过作抛物线的动弦, ,并设它们的斜率分别为, .
(Ⅰ)求拋物线的方程;
(Ⅱ)若,求证:直线的斜率为定值,并求出其值;
(III)若,求证:直线恒过定点,并求出其坐标.
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【题目】定义非零向量的“相伴函数”为(),向量称为函数的“相伴向量”(其中为坐标原点),记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为.
(1)已知(),求证:,并求函数的“相伴向量”模的取值范围;
(2)已知点()满足,向量的 “相伴函数”在处取得最大值,当点运动时,求的取值范围.
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