Question

已知锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a²+b²-c²）tanC=

3

ab．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若c=

3

，求2a-b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用余弦定理列出关系式，结合已知等式，得到sinC的值，由三角形ABC为锐角三角形，利用特殊角的三角函数值即可求出角C的度数；
（Ⅱ）利用正弦定理化简2a-b得到关系式，用A表示出B代入，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由三角形ABC为锐角三角形，得到A的范围，确定出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出2a-b的范围即可．

解答：解：（Ⅰ）由余弦定理可得a²+b²-c²=2abcosC，
结合（a²+b²-c²）tanC=

3

ab，可得2cosCtanC=2sinC=

3

，即sinC=

3

2

，
∵△ABC为锐角三角形，∴C=

π

3

；
（Ⅱ）由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

3

3 2

=2，
∴2a-b=4sinA-2sinB，
∵B=

2π

3

-A，
∴2a-b=4sinA-2sin（

2π

3

-A）=3sinA-

3

cosA=2

3

sin（A-

π

6

），
∵△ABC为锐角三角形，
∴A∈（

π

6

，

π

2

），即A-

π

6

∈（0，

π

3

），
则2a-b的取值范围为（0，3）．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，正弦函数的定义域与值域，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．