Question

设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）求f（0）；
（2）求证：f（x）是奇函数；
（3）请写出一个符合条件的函数；
（4）证明f（x）在R上是减函数，并求当-3≤x≤3时，f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）取x=0代入题中关系式，化简即得f（0）=0；
（2）令y=-x，得f（0）=f（-x+x）=f（x）+f（-x）=0，从而f（-x）=-f（x），得出f（x）是奇函数；
（3）根据函数为奇函数且满足一次线性关系，结合题中条件可得符合题意的一个函数为y=-2x；
（4）根据题中条件利用函数单调性的定义，证出当x₁＜x₂时f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＜0，可得f（x₁）＞f（x₂）成立，因此函数f（x）在R上是减函数．由此在-3≤x≤3时加以计算，结合f（1）=-2和函数为奇函数，即可算出f（x）的最大值和最小值．

解答：解：（1）令x=0，则f（0+y）=f（0）+f（y），∴f（0）=0------------------（2分）
（2）令y=-x，则f（0）=f（-x+x）=f（x）+f（-x）=0，-----------------（3分）
移项得f（-x）=-f（x），
可得f（x）是其定义域上的奇函数--------------------（4分）
（3）根据函数的性质，可得函数为奇函数且满足一次线性关系：f（x+y）=f（x）+f（y），
又∵x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2．
∴满足条件的一个函数为y=-2x（答案不唯一）------------------（6分）
（4）设x₁＜x₂，则
f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）+f（x₂-x₁）
∵当x＞0时，f（x）＜0，∴由x₂-x₁＞0，可得f（x₂-x₁）＜0
因此f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＜0，可得f（x₁）＞f（x₂）
∴函数f（x）在R上是减函数．---------（9分）
若-3≤x≤3，可得f（x）在区间[-3，3]上是减函数
故x=-3时，f（x）有最大值，x=3，f（x）有最小值
又∵f（1）=-2，
∴f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=-6-----（11分）
∵f（x）是奇函数，∴f（-3）=-f（3）=6
∴当-3≤x≤3时，f（x）的最大值为6，最小值为-6．----------（12分）

点评：本题给出抽象函数满足的条件，求函数的奇偶性、单调性和闭区间上的最值．着重考查了函数定义和函数的简单性质等知识，属于中档题．