【题目】已知椭圆:的离心率为,椭圆:经过点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设点是椭圆上的任意一点,射线与椭圆交于点,过点的直线与椭圆有且只有一个公共点,直线与椭圆交于,两个相异点,证明:面积为定值.
【答案】(1); (2)见解析.
【解析】
(1)根据椭圆的离心率和把过的点代入椭圆方程,根据得到的式子求出.
(2)当直线斜率不存在时,易得的面积,当直线斜率存在时,设为,与椭圆相切,得到和的关系,再由直线和椭圆联立方程组,得到、,
利用弦长公式表示出,再得到和的关系,由到的距离,得到到的距离,从而计算出的面积.得到结论为定值.
(1)解:因为的离心率为,
所以,
解得.①
将点代入,整理得.②
联立①②,得,,
故椭圆的标准方程为.
(2)证明:①当直线的斜率不存在时,
点为或,由对称性不妨取,
由(1)知椭圆的方程为,所以有.
将代入椭圆的方程得,
所以 .
②当直线的斜率存在时,设其方程为,
将代入椭圆的方程
得,
由题意得,
整理得.
将代入椭圆的方程,
得.
设,,
则,,
所以 .
设,,,则可得,.
因为,所以,
解得(舍去),
所以,从而.
又因为点到直线的距离为,
所以点到直线的距离为,
所以 ,
综上,的面积为定值.
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【题目】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关……”其大意为:“某人从距离关口三百七十八里处出发,第一天走得轻快有力,从第二天起,由于脚痛,每天走的路程为前一天的一半,共走了六天到达关口……” 那么该人第一天走的路程为______________
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【题目】给出下列命题:
(1)直线与线段相交,其中,,则的取值范围是;
(2)点关于直线的对称点为,则的坐标为;
(3)圆上恰有个点到直线的距离为;
(4)直线与抛物线交于,两点,则以为直径的圆恰好与直线相切.
其中正确的命题有_________.(把所有正确的命题的序号都填上)
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为,,离心率为,过右焦点作直线交椭圆于,两点,的周长为,点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线、的斜率,,请问是否为定值?若是定值,求出其定值;若不是,说明理由.
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【题目】随着移动互联网的发展,与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷.现从某市使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家,对它们的“平均送达时间”进行统计,得到频率分布直方图如下.
(1)已知抽取的100个使用A款订餐软件的商家中,甲商家的“平均送达时间”为18分钟。现从使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家中随机抽取3个商家进行市场调研,求甲商家被抽到的概率;
(2)试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数;
(3)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据,从A和B两款订餐软件中选择一款订餐,你会选择哪款?
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【题目】某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如表:
组号 | 分组 | 频率 |
第1组 | ||
第2组 | ||
第3组 | ||
第4组 | ||
第5组 |
求出频率分布表中处应填写的数据,并完成如图所示的频率分布直方图;
根据直方图估计这次自主招生考试笔试成绩的平均数和中位数结果都保留两位小数.
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【题目】下列选项中,p是q的必要不充分条件的是( )
A.;方程的曲线是椭圆
B.;对不等式恒成立
C.设是首项为正数的等比数列,公比小于0;对任意的正整数n,
D.已知空间向量,,;向量a与b的夹角是
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