【题目】已知函数(其中
).
(1)当时,求函数
的图像在
处的切线方程;
(2)若恒成立,求
的取值范围;
(3)设,且函数
有极大值点
,求证:
.
【答案】(1);(2)
;(3)见解析。
【解析】试题分析:
(1)根据导数的几何意义可得所求的切线方程.(2)由题意分离参数可得在
上恒成立,设
,利用导数可求得
,故
,解得
,即为所求范围.(3)将
求导后由
及根与系数的关系可得极大值点
,然后得到
,
.设
,求导可得
在
上单调递减,故
,即不等式成立.
试题解析:
(1)当时,
,
,
∴,
∴,
又,
∴所求的切线方程为,
即
(2)有题意得在
上恒成立,
∴在
上恒成立,
∵,
∴在
上恒成立,
令,则
∴当时,
,
单调递增;
当时,
,
单调递减.
∴当时,
取得极大值,也为最大值,且
,
∴,解得
,
∴实数的取值范围是
.
(3)证明:由题意得,
,
∴,
①当时,
,
单调递增,无极值点.不符合题意;
②当或
时,设
的两根为
和
,
∵为函数
的极大值点,
∴,
由,
,知
,
,
又由,得
,
∵,
,
令,
则,
令,
,
则,
∴当时,
,
单调递增;
当时,
,
单调递减.
∴,
∴
∴在
上单调递减,
∴,
∴.
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【题目】4男3女站成一排,求满足下列条件的排法共有多少种?
任何两名女生都不相邻,有多少种排法?
男甲不在首位,男乙不在末位,有多少种排法?
男生甲、乙、丙顺序一定,有多少种排法?
男甲在男乙的左边
不一定相邻
有多少种不同的排法?
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【题目】在中,
,
,
,
是
中点(如图1).将
沿
折起到图2中
的位置,得到四棱锥
.
(1)将沿
折起的过程中,
平面
是否成立?并证明你的结论;
(2)若与平面
所成的角为60°,且
为锐角三角形,求平面
和平面
所成角的余弦值.
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【题目】已知动圆过定点,且在y轴上截得的弦MN的长为4.
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;
(2)过点的直线
与曲线C交于A、B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点E(
,0),求
的取值范围.
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【题目】已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn;
(2)令bn=(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.
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【题目】现有六支足球队参加单循环比赛(即任意两支球队只踢一场比赛),第一周的比赛中
,各踢了
场,
各踢了
场,
踢了
场,且
队与
队未踢过,
队与
队也未踢过,则在第一周的比赛中,
队踢的比赛的场数是( )
A. B.
C.
D.
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【题目】2016年“双节”期间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速分成六段:
,
,
,
,
,
后得到如图的频率分布直方图.
(I)某调查公司在采样中,用到的是什么抽样方法?
(II)求这40辆小型车辆车速的众数、中位数及平均数的估计值;
(III)若从车速在的车辆中任抽取2辆,求车速在
的车辆至少有一辆的概率.
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【题目】某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程,甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分,用茎叶图表示.,
分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差,则
_______
.(填“
”“<”或“=”)
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【题目】质监部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别各随机抽取100桶检测某项质量指标,由检测结果得到如下的频率分布直方图:
(Ⅰ)写出频率分布直方图(甲)中的值;记甲、乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为
,
,试比较
,
的大小(只要求写出答案);
(Ⅱ)估计在甲、乙两种食用油中随机抽取1捅,恰有一桶的质量指标大于20;
(Ⅲ)由频率分布直方图可以认为,乙种食用油的质量指标值服从正态分布
.其中
近似为样本平均数
,
近似为样本方差
,设
表示从乙种食用油中随机抽取10桶,其质量指标值位于(14.55,38.45)的桶数,求
的数学期望.
注:①同一组数据用该区问的中点值作代表,计算得
②若,则
,
.
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