Question

【题目】在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足 + =4cosC． （Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若tanA=2tanB，求sinA的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）已知等式整理得： =4cosC，即 =2abcosC，

由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ = ，

即 =2，

利用正弦定理化简得： = =2；

（Ⅱ）∵tanA=2tanB，

∴ ，则sinAcosB=2sinBcosA，

∴a =2b ，

化简得，3a2﹣3b2=c2，

联立a2+b2=2c2得，a 、 ，

由余弦定理得，cosA= = = ，

由0＜A＜π得，sinA=

【解析】（Ⅰ）根据余弦定理和正弦定理化简已知的式子，即可求出式子的值；（Ⅱ）利用商的关系化简tanA=2tanB，再根据余弦定理和正弦定理化简得到等式，联立（1）的结论求出a、b、c的关系，利用余弦定理求出cosA，再由内角的范围和平方关系求出sinA的值．
【考点精析】关于本题考查的正弦定理的定义和余弦定理的定义，需要了解正弦定理:；余弦定理:;;才能得出正确答案．