Question

用n种不同颜色为下侧两块广告牌着色（如图甲、乙所示），要求在①、②、③、④四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一种颜色．
（1）若n=6，为甲着色时共有多少种不同方法？
（2）若为乙着色时共有120种不同方法，求n．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意，分分四个步骤来完成着色，即依次考虑为①、②、③、④着色时各自的方法数，由乘法原理计算可得答案．
（2）分析与（1）的不同，其区别在于与④相邻的区域由两块变成了三块，由（1）的思路可得，n（n-1）（n-2）（n-3）=120；计算可得答案．
解答：解：（1）完成着色这件事，共分四个步骤，即依次考虑为①、②、③、④着色时各自的方法数，
为①着色有6种方法，
为②着色有5种方法，
为③着色有4种方法，
为④着色也只有4种方法．
∴共有着色方法6×5×4×4=480种．
（2） 与（1）的区别在于与④相邻的区域由两块变成了三块，
同理，不同的着色方法数是n（n-1）（n-2）（n-3）．
由n（n-1）（n-2）（n-3）=120
∴（n²-3n）（n²-3n+2）-120=0，
即（n²-3n）²+2（n²-3n）-12×10=0，
∴n²-3n-10=0，
∴n=5．
点评：本题考查涂色问题，是排列、组合的典型题目，一般涉及分类加法原理与分步乘法原理，注意认真分析题意，把握好限制条件．