分析 (1)①利用等差数列和等比数列的通项公式、前n项和的意义即可得出;
②根据等比数列的前n项公式求出Sn,分n为奇数和偶数两种情况讨论,即可求出数列{Tn}的最大项和最小项的值.
(2)根据等比数列,分别设出等比数列{an}首项为a,公比为q,等比数列{bn}首项为b,公比为p,根据an-bn=n(n=1,2,3),得到关于a,b,p,q的方程,消元后得到bp2-4bp+3b-1=0,根据存在唯一的等比数列{bn}满足an-bn=n,则p有唯一的解,且b≠0,即△=0,即可求出b的值.
解答 解:(1)①设等比数列{an}(n∈N*),又a1=$\frac{3}{2}$,∴an=$\frac{3}{2}$qn-1,
∵S3+a3、S5+a5、S4+a4成等差数列,
∴2(S5+a5)=(S3+a3)+(S4+a4),
即2(a1+a2+a3+a4+2a5)=(a1+a2+2a3)+(a1+a2+a3+2a4),
化简得4a5=a3,
∴4a1q4=a1q2,化为4q2=1,
解得q=$±\frac{1}{2}$,
∵数列{an}不是递减数列,
∴q=-$\frac{1}{2}$
∴an=$\frac{3}{2}$•(-$\frac{1}{2}$)n-1=(-1)n-1•$\frac{3}{{2}^{n}}$
②Sn=1-(-$\frac{1}{2}$)n=$\left\{\begin{array}{l}{1+\frac{1}{{2}^{n}},n为奇数}\\{1-\frac{1}{{2}^{n}},n为偶数}\end{array}\right.$
当n为奇数时,Sn随n的增大而减小,所以1<Sn≤S1=$\frac{3}{2}$,
∴0<Sn-$\frac{1}{{S}_{n}}$≤S1-$\frac{1}{{S}_{1}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{2}{3}$=$\frac{5}{6}$,
当n为偶数时,Sn随n的增大而增大,所以1>Sn≥S2=$\frac{3}{4}$,
∴0>Sn-$\frac{1}{{S}_{n}}$≥S2-$\frac{1}{{S}_{2}}$=$\frac{3}{4}$-$\frac{4}{3}$=-$\frac{7}{12}$,
对于n∈N*,总有-$\frac{7}{12}$≤Sn-$\frac{1}{{S}_{n}}$≤$\frac{5}{6}$,
故数列{Tn}的最大项的值为$\frac{5}{6}$,最小项的值为-$\frac{7}{12}$;
(3)设等比数列{bn},首项为b,公比为q,
则a1=b+1,a2=2+bq,a3=3+bq2,
由a1,a2,a3成等比数列得(2+bq)2=(1+b)(3+bq2),
即bq2-4bq+3b-1=0
由b>0,得△=4b2+4b>0,
故方程有两个不同的实根,
再由{bn}唯一,知方程必有一个根为0,讲q=0代入方程得b=$\frac{1}{3}$.
点评 本题考查了等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式,数列的性质,根据的判别式等问题,培养了学生的运算能力和转化能力,属于中档题.
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 若$\underset{lim}{n→∞}$(an•bn)=a≠0,则$\underset{lim}{n→∞}$an≠0且$\underset{lim}{n→∞}$bn≠0 | |
B. | 若$\underset{lim}{n→∞}$(an•bn)=0,则$\underset{lim}{n→∞}$an=0或$\underset{lim}{n→∞}$bn=0 | |
C. | 若无穷数列{an}有极限,且它的前n项和为Sn,则$\underset{lim}{n→∞}{S}_{n}$=$\underset{lim}{n→∞}$a1+$\underset{lim}{n→∞}$a2+…+$\underset{lim}{n→∞}$an | |
D. | 若无穷数列{an}有极限,则$\underset{lim}{n→∞}$an=$\underset{lim}{n→∞}$an+1 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 命題“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0” | |
B. | “a>1且b>1”是“ab>1”的充分不必要条件 | |
C. | 若命题p:?x0∈N,2${\;}^{{x}_{0}}$>1000,则¬p:?x∈N,2x≤1000 | |
D. | 若p∧q为假命题,则p,q均为假命题 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 充分不必要条件 | B. | 必要不充分条件 | ||
C. | 充要条件 | D. | 既不充分也不必要条件 |
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