Question

6．定义数列如下：a₁=2，a_n+1=a_n²-a_n+1，n∈N^*，求证：
（Ⅰ）对于n∈N^*恒有a_n+1＞a_n成立；
（Ⅱ）1-$\frac{1}{{{2^{2015}}}}＜\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{{{a_{2015}}}}$＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得a_n+1-a_n=a_n²-2a_n+1=（a_n-1）²≥0，a₁=2，由此能证明a_n+1＞a_n．
（Ⅱ）由${a_{n+1}}={a_n}^2-{a_n}+1$，得：a_n+1-1=a_n（a_n-1），由此利用累乘法得a_n+1=a_na_n-1…a₂a₁+1，从而$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{{{a_n}-1}}-\frac{1}{{{a_{n+1}}-1}}$，进而能证明1-$\frac{1}{{{2^{2015}}}}＜\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{{{a_{2015}}}}$＜1．

解答 证明：（Ⅰ）∵a₁=2，a_n+1=a_n²-a_n+1，n∈N^*，
∴a_n+1-a_n=a_n²-2a_n+1=（a_n-1）²≥0，a₁=2＞1，
∴由归纳法可知a_n+1＞a_n…..（4分）
（Ⅱ）由${a_{n+1}}={a_n}^2-{a_n}+1$，得：a_n+1-1=a_n（a_n-1），
∴a_n-1=a_n-1（a_n-1-1）
…a₂-1=a₁（a₁-1）
以上各式两边分别相乘得：
a_n+1-1=a_na_n-1…a₂a₁（a₁-1），
又a₁=2，∴a_n+1=a_na_n-1…a₂a₁+1…..（7分）
又∵a_n+1-1=a_n（a_n-1），
∴$\frac{1}{{{a_{n+1}}-1}}=\frac{1}{{{a_n}-1}}-\frac{1}{a_n}$，
∴$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{{{a_n}-1}}-\frac{1}{{{a_{n+1}}-1}}$，
∴$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{{{a_{2015}}}}$=$（\frac{1}{{{a_1}-1}}-\frac{1}{{{a_2}-1}}）+（\frac{1}{{{a_2}-1}}-\frac{1}{{{a_3}-1}}）+…+（\frac{1}{{{a_{2015}}-1}}-\frac{1}{{{a_{2016}}-1}}）$=$\frac{1}{{{a_1}-1}}-\frac{1}{{{a_{2016}}-1}}$=$1-\frac{1}{{{a_1}{a_{2…}}{a_{2015}}}}$＜1
又${a_1}{a_2}…{a_{2015}}＞{a_1}^{2015}={2^{2015}}$，
∴$1-\frac{1}{{{a_1}{a_2}…{a_{2015}}}}＞1-\frac{1}{{{2^{2015}}}}$，
∴1-$\frac{1}{{{2^{2015}}}}＜\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{{{a_{2015}}}}$＜1． …..（15分）

点评 本题考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意归纳法、累乘法、裂项法的合理运用．