Question

7．已知x＜3，则y=2x+$\frac{1}{x-3}$的取值范围是（-∞，6-2$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 由题意可得x-3＜0，可得y=2x+$\frac{1}{x-3}$=2（x-3）+$\frac{1}{x-3}$+6=-[-2（x-3）-$\frac{1}{x-3}$]+6，由基本不等式可得．

解答 解：∵x＜3，∴x-3＜0，
∴y=2x+$\frac{1}{x-3}$=2（x-3）+$\frac{1}{x-3}$+6
=-[-2（x-3）-$\frac{1}{x-3}$]+6
≤-2$\sqrt{-2（x-3）•（-\frac{1}{x-3}）}$+6=6-2$\sqrt{2}$，
当期仅当=-2（x-3）=-$\frac{1}{x-3}$即x=3-$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号．
故答案为：（-∞，6-2$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查基本不等式求最值，凑出可以基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．