Question

8．任取x₁，x₂∈[a，b]，且x₁≠x₂，若f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，称f（x）是[a，b]上的严格下凸函数，则下列函数中是严格下凸函数的有（　　）
①f（x）=3x+1 ②f（x）=$\frac{1}{x}$，x∈（0，+∞） ③f（x）=-x²+3x+2
④f（x）=lgx ⑤f（x）=2^x．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 先求出f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）的解析式以及$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]的解析式，利用函数的单调性、基本不等式判断f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）和$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]的大小关系，再根据“严格下凸函数”的定义域，得出结论．

解答 解：在①中：对于函数y=f（x）=3x+1，
当x₁≠x₂时，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{3}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）$+1，$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]=$\frac{1}{2}（3{x}_{1}+1+3{x}_{2}+1）$=$\frac{3}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+1$，
f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，故f（x）=3x+1不是严格下凸函数．
在②中：对于函数f（x）=$\frac{1}{x}$，x∈（0，+∞），
当x₁≠x₂＞0时，f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]=$\frac{1}{2}（\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}）$，
∵$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}-\frac{1}{2}（\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}）$=$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{2{x}_{1}{x}_{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）}$＜0，
∴f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，∴f（x）=$\frac{1}{x}$是[a，b]上的严格下凸函数；
在③中：对于函数f（x）=-x²+3x+2，
当x₁≠x₂时，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$-（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）^{2}$+3•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$+2，
$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]=$\frac{1}{2}$[-x₁²+3x₁+2-x₂²+3x₂+2]=-$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{2}$+3•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$+2，
当x₁x₂≤0时，f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≥$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，故f（x）=-x²+3x+2不是[a，b]上的严格下凸函数；
在④中：对于函数f（x）=lgx，
当x₁≠x₂ ＞0时，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=lg（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$），$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]=$\frac{1}{2}（lg{x}_{1}+lg{x}_{2}）$=lg$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∴f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，故f（x）=lgx不是[a，b]上的严格下凸函数；
在⑤中：对于函数f（x）=2^x，
当x₁≠x₂ 时，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=${2}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$=$\sqrt{{2}^{{x}_{1}}•{2}^{{x}_{2}}}$，$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]=$\frac{1}{2}（{2}^{{x}_{1}}+{2}^{{x}_{2}}）$，
∴f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，∴f（x）=2^x是[a，b]上的严格下凸函数．
故选：B．

点评 本题考查严格下凸函数的判断，是中档题，解题时要认真审题，熟练掌握新定义，注意函数性质的合理运用．