Question

已知点集L={(x，y)|y=

m

•

n

}，其中

m

=(2x-b，1)，

n

=(1，b+1)，点列P_n（a_n，b_n）在L中，P₁为L与y轴的交点，等差数列{a_n}的公差为1，n∈N₊．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若cn=

5

n•|P1Pn|

(n≥2)，求

lim

n→∞

(c1+c2+…+cn)．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积求出直线L的方程，求出a₁=0，b₁=1，利用等差数列的定义求出求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）利用P_n（a_n，b_n）在L上，求出|P₁P_n|关于n的表达式，通过cn=

5

n•|P1Pn|

(n≥2)，利用裂项法求出前n项和，然后求

lim

n→∞

(c1+c2+…+cn)的值即可．

解答：解：（1）由

y= m • n m =(2x-b，1) n =(1，b+1)

，得y=2x+1
∴L：y=2x+1，
∴P₁（0，1），
则a₁=0，b₁=1，
∴a_n=n-1（n∈N₊），b_n=2n-1（n∈N₊）
（2）由（1）可知P₁（0，1），
当n≥2时，P_n（n-1，2n-1），
|P1Pn|=

(n-1)2+(2n-2)2

=

5

(n-1)．
cn=

5

n|P1Pn|

=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

．
∴

lim

n→∞

(c1+c2+…+cn)
=

lim

n→∞

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…(

1

n-1

-

1

n

)]=

lim

n→∞

(1-

1

n

)=1．

点评：本题考查直线、向量、数列的综合问题，数列通项公式已经前n项和的求法，数列极限的求解方法，考查计算能力，转化思想．