Question

1．过点M（1，1）作斜率为-$\frac{1}{2}$的直线与椭圆C：x²+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（0＜b＜1）交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的方程为x²+2y²=1．

Answer 1

分析 利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为-$\frac{1}{2}$，即可求出椭圆C的标准方程；

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则 ${{x}_{1}}^{2}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}=1$①，${{x}_{2}}^{2}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{b}^{2}}=1$②，
①-②得：${{x}_{1}}^{2}{{-x}_{2}}^{2}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{b}^{2}}=0$，
即（x₁+x₂）（x₁-x₂）+$\frac{1}{{b}^{2}}$（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，③
∵M是线段AB的中点，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{1}}{2}$=1，$\frac{{y}_{1}+{y}_{1}}{2}$=1，
故③可化为：（x₁-x₂）+$\frac{1}{{b}^{2}}$（y₁-y₂）=0，
∵直线AB的方程是y=-$\frac{1}{2}$（x-1）+1，
∴y₁-y₂=-$\frac{1}{2}$（x₁-x₂），
故③可化为：（x₁-x₂）-$\frac{1}{{b}^{2}}$•$\frac{1}{2}$（x₁-x₂）=0，
即（x₁-x₂）（1-$\frac{1}{{2b}^{2}}$）=0，
解得：b²=$\frac{1}{2}$，
故椭圆C的方程为x²+2y²=1，
故答案为：x²+2y²=1

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键