Question

对于函数f(x)若存在x₀∈R，f(x₀)＝x₀成立，则称x₀为f(x)的不动点．已知f(x)＝ax²＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．
(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的不动点；
(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
(3)在(2)的条件下，若y＝f(x)图象上A，B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A，B两点关于直线y＝kx＋对称，求b的最小值．

Answer 1

（1）－1和3.
（2）(0,1)
（3）－

解：(1)∵a＝1，b＝－2时，f(x)＝x²－x－3，
f(x)＝x⇒x²－2x－3＝0⇒x＝－1，x＝3，
∴函数f(x)的不动点为－1和3.
(2)即f(x)＝ax²＋(b＋1)x＋b－1＝x有两个不等实根，转化为ax²＋bx＋b－1＝0有两个不等实根，需有判别式大于0恒成立，即Δ＝b²－4a(b－1)>0⇒Δ₁＝(－4a)²－4×4a<0⇒0<a<1，
∴a的取值范围为(0,1)．
(3)设A(x₁，x₁)，B(x₂，x₂)，则x₁＋x₂＝－，
则A，B中点M的坐标为(，)，即M(－，－)．
∵A，B两点关于直线y＝kx＋对称，
且A，B在直线y＝x上，
∴k＝－1，A，B的中点M在直线y＝kx＋上．
∴－＝＋⇒b＝－＝－，
利用基本不等式可得当且仅当a＝时，b的最小值为－.