Question

9．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，满足：①f（x+2）=f（x）；②当x∈[0，1]时，f（x）=$\sqrt{2}$x，若P₁，P₂，…，P₂₀₁₆是f（x）在x∈[3，4]图象上不同的2016个点，设A（-1，0），B（1，$\sqrt{2}$），m_i=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{A{P}_{i}}$（i=1，2，…，2016），则m₁+m₂+…+m₂₀₁₆=20160．

Answer 1

分析 由已知可得x∈[3，4]时，图象线段CD的斜率为-$\sqrt{2}$，与AB垂直，根据向量垂直的充要条件，及向量加法的三角形法则，可得答案．

解答 解：∵A（-1，0），B（1，$\sqrt{2}$），
故直线AB的斜率k=$\frac{\sqrt{2}}{1+1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，满足：①f（x+2）=f（x）；②当x∈[0，1]时，f（x）=$\sqrt{2}$x，
∴x∈[3，4]时，x-4∈[-1，0]，4-x∈[0，1]，
此时f（4-x）=$\sqrt{2}$（4-x）=f（x-4）=f（x），
∴f（3）=$\sqrt{2}$，f（4）=0，
令C（3，$\sqrt{2}$），D（4，0），
即此时图象线段CD的斜率为-$\sqrt{2}$，
故AB⊥CD．
∵P₁，P₂，…，P₂₀₁₆是f（x）在x∈[3，4]图象线段CD上不同的2016个点，
∴m_i=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{A{P}_{i}}$=$\overrightarrow{AB}$•（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{D{P}_{i}}$）=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=10，
∴m₁+m₂+…+m₂₀₁₆=20160，
故答案为：20160

点评 本题考查的知识点是向量在几何中的应用，向量垂直的充要条件，直线的位置关系，函数的图象和性质，是函数，几何，向量的综合应用．