Question

11．如图所示，将一个边长为1的正方形沿中线对半分成面积相等的两个长方形，再将其中的一个长方形沿中线对半分成面积相等顶点两个正方形，如此下去，得到一系列小正方形，依次记这些小正方形的面积为a₁，a₂，a₃，…
（1）写出以这些小正方形面积构成的数列{a_n}的通项公式；
（2）猜测所有这些小正方形面积的和大约是多少？

Answer 1

分析 （1）由题意可得：a₁=$（\frac{1}{2}）^{2}$，a₂=$（\frac{1}{2}）^{2}$×$（\frac{1}{2}）^{2}$=$（\frac{1}{2}）^{4}$，a₃=$（\frac{1}{2}）^{6}$，…，利用等比数列的通项公式可得：a_n．
（2）数列{a_n}是公比为$\frac{1}{4}$的等比数列．所有这些小正方形面积的和大约是$\frac{{a}_{1}}{1-q}$．

解答 解：（1）由题意可得：a₁=$（\frac{1}{2}）^{2}$，a₂=$（\frac{1}{2}）^{2}$×$（\frac{1}{2}）^{2}$=$（\frac{1}{2}）^{4}$，a₃=$（\frac{1}{2}）^{6}$，…，可得：a_n=$（\frac{1}{2}）^{2n}$=$（\frac{1}{4}）^{n}$．
（2）数列{a_n}是公比q为$\frac{1}{4}$的等比数列．
所有这些小正方形面积的和大约是$\frac{{a}_{1}}{1-q}$=$\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{3}$．
故所有这些小正方形面积的和大约是$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、极限的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．