Question

如图，三棱锥D-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，AD=3，E为AB的中点，AD⊥平面ABC．
（Ⅰ） 求证：平面CDE⊥平面ABD；
（Ⅱ） 求直线AD和平面CDE所成的角的大小；
（Ⅲ） 求点A到平面BCD的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据AD⊥平面ABC，可得AD⊥CE，又△ABC为正三角形，E为AB的中点，可知CE⊥AB，从而CE⊥平面ABD，故可得平面CDE⊥平面ABD；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面CDE⊥平面ABD，所以AD在平面CDE上的射影为DE，故∠ADE即为所成的角，在Rt△ADE中，AE=2，AD=3，故可求直线AD与平面CDE所成的角；
（Ⅲ）取BC的中点M，连接DM，过A点在平面DAM内作AN⊥DM于N，可证得BC⊥平面DAM，所以AM⊥平面BCD，利用DM•AN=DA•AM
可求点A到平面BCD的距离．

解答：解：（Ⅰ）∵AD⊥平面ABC，CE?平面ABC∴AD⊥CE，
又∵△ABC为正三角形，E为AB的中点，
∴CE⊥AB而AB∩AD=A
∴CE⊥平面ABD，又CE?平面CDE
∴平面CDE⊥平面ABD
（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面CDE⊥平面ABD，
∴AD在平面CDE上的射影为DE，所以∠ADE即为所成的角．
△ADE为Rt△，且AE=2，AD=3，∴tan∠ADE=

2

3

∴∠ADE=arctan

2

3

，即直线AD与平面CDE所成的角为arctan

2

3

（Ⅲ）取BC的中点M，连接DM，过A点在平面DAM内作AN⊥DM于N
证得BC⊥平面DAM，所以AM⊥平面BCD
AM=2

3

，DM=

21

，
利用等面积可知，DM•AN=DA•AM
所以

21•

AN=6

3

∴AN=

6 7

7

点评：本题以三棱锥为载体，考查线面垂直的性质，考查面面垂直，考查线面角，考查点面距离，综合性强．