Question

12．如图，在圆柱EF中，底面圆的半径为2，母线长为6，$\widehat{AB}$和$\widehat{CD}$的长均为所在圆的周长的$\frac{1}{6}$，若沿着面ABCD将圆柱截开，试求所截得的体积较小的几何体的体积V．

Answer 1

分析 连接FA，FB，EC，ED，EF，由$\widehat{AB}$和$\widehat{CD}$的长均为所在圆的周长的$\frac{1}{6}$得底面三角形为等边三角形，故所求几何体体积等于圆柱体积的$\frac{1}{6}$减去三棱柱的体积．

解答 解：如图所示，连接FA，FB，EC，ED，EF．
∵$\widehat{AB}$和$\widehat{CD}$的长均为所在圆的周长的$\frac{1}{6}$，
∴∠AEB=∠CED=$\frac{π}{3}$，∵AF=BF=2，
∴△ABF，△CDE是等边三角形，
∴S_△ABF=$\frac{\sqrt{3}}{4}•{2}^{2}$=$\sqrt{3}$．
∴V_{棱柱ABF-DCE}=S_△ABF•EF=6$\sqrt{3}$．
V_圆柱EF=π•AF²•EF=24π，
∴V=$\frac{1}{6}$V_圆柱EF-V_{棱柱ABF-DCE}=4π-6$\sqrt{3}$

点评 本题考查了空间几何体的体积求法，使用作差法求体积是常用的求不规则几何体体积的一种方法．