Question

已知函数，其中实数a为常数．
(I)当a=-l时，确定的单调区间：
(II)若f(x)在区间（e为自然对数的底数）上的最大值为-3，求a的值；
(Ⅲ)当a=-1时，证明．

Answer 1

(Ⅰ)在区间上为增函数，在区间上为减函数.(Ⅱ). (Ⅲ) 见解析.

试题分析：(Ⅰ)通过求导数，时，时，，单调函数的单调区间.
(Ⅱ)遵循“求导数，求驻点，讨论区间导数值正负，确定端点函数值，比较大小”等步骤，得到的方程.注意分①；②；③，等不同情况加以讨论.
(Ⅲ) 根据函数结构特点，令，利用“导数法”，研究有最大值，根据, 得证.
试题解析：(Ⅰ)当时，,∴，又,所以
当时，在区间上为增函数，
当时，，在区间上为减函数，
即在区间上为增函数，在区间上为减函数.    4分
(Ⅱ)∵，①若，∵,则在区间上恒成立，
在区间上为增函数，，∴，舍去;
②当时，∵，∴在区间上为增函数，
，∴，舍去;
③若，当时，在区间上为增函数，
当时， ，在区间上为减函数，
，∴.
综上.                                    9分
(Ⅲ) 由(Ⅰ)知，当时，有最大值，最大值为，即，
所以，                              10分
令，则，
当时，，在区间上为增函数，
当时，，在区间上为减函数，
所以当时，有最大值，12分
所以,
即.                            13分