Question

10．已知点P是椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$上的一点，且以点P及焦点F₁，F₂为顶点的三角形的面积等于4，点P在x轴的上方，求点P的坐标$（±\frac{{10\sqrt{2}}}{3}，1）$．

Answer 1

分析 由题意可知：c=4，|F₁F₂|=2c=8，设P（x₀，y₀），y₀＞0，则三角形PF₁F₂的面积S=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|y₀|=$\frac{1}{2}$•8•|y₀|=4|y₀|=4，求得y₀=1，代入即可求得x₀，即可求得点P的坐标．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$，a=5，b=3，则c=4，|F₁F₂|=2c=8，
由点P在x轴的上方，设P（x₀，y₀），y₀＞0，则三角形PF₁F₂的面积S=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|y₀|=$\frac{1}{2}$•8•|y₀|=4|y₀|=4，
∴|y₀|=1，y₀=1，
y₀=1时，$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{1}{9}$=1，解得：x₀=±$\frac{10\sqrt{2}}{3}$，
∴P（±$\frac{10\sqrt{2}}{3}$，1），
故答案为：$（±\frac{{10\sqrt{2}}}{3}，1）$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查焦点三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．