Question

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的短轴长为2$\sqrt{3}$，且离心率为$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点F为椭圆C的右焦点，过 点F的直线交该椭圆于P，Q两点（P，Q不是长轴的端点），线段PQ的垂直平分线交y轴于点M（0，y₀），求y₀的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得b=$\sqrt{3}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²-b²=c²，解方程可得a=2，进而得到椭圆方程；
（2）分类讨论，设直线MN的方程为y=k（x-1）（k≠0），代入椭圆方程，求出线段MN的垂直平分线方程，令x=0，得y₀=$\frac{k}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{1}{4k+\frac{3}{k}}$，利用基本不等式，即可求y的取值范围．

解答 解：（1）由短轴长为2$\sqrt{3}$，且离心率为$\frac{1}{2}$．
可得b=$\sqrt{3}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²-b²=c²，
解得a=2，c=1．
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）当PQ⊥x轴时，显然y₀=0．
当PQ与x轴不垂直时，可设直线PQ的方程为y=k（x-1）（k≠0）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$消去y整理得（3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），线段PQ的中点为D（x₃，y₃），
则x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$．
所以x₃=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，y₃=k（x₃-1）=$\frac{-3k}{3+4{k}^{2}}$，
线段PQ的垂直平分线方程为y+$\frac{3k}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$），
在上述方程中令x=0，得y₀=$\frac{k}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{1}{4k+\frac{3}{k}}$
当k＜0时，$\frac{3}{k}$+4k≤-4$\sqrt{3}$；当k＞0时，$\frac{3}{k}$+4k≥4$\sqrt{3}$．
所以-$\frac{\sqrt{3}}{12}$≤y₀＜0，或0＜y₀≤$\frac{\sqrt{3}}{12}$．
综上y₀的取值范围是[-$\frac{\sqrt{3}}{12}$，$\frac{\sqrt{3}}{12}$]．

点评 本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查基本不等式的运用，确定线段MN的垂直平分线方程是关键．