Question

已知f（x）是三次函数，g（x）是一次函数，且f（x）-

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g（x）=-x³+2x²+3x+7，f（x）在x=1处有极值2，求f（x）的解析式和单调区间．

Answer 1

分析：三次函数f（x）=x³+2x²+cx+d在x=1时取极值2，说明f′（1）=0及f（1）=2，求出c，d值，即可求出f（x）的解析式，在求出导数，分别令导数大于或小于0，解出不等式即可得到函数的单调区间．

解答：解：由于f（x）是三次函数，g（x）是一次函数，且f（x）-

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g（x）=-x³+2x²+3x+7，
则可设f（x）=-x³+2x²+cx+d，
故有 f′（x）=-3x²+4x+c，
由题意知f′（1）=0，则-3+4+c=0，∴c=-1  
 又f（1）=2，∴d=2
∴f（x）=-x³+2x²-x+2   
则 f′（x）=-3x²+4x-1，
由f′（x）＞0得到

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＜x＜1；
由f′（x）＜0得到x∈（-∞，

1

3

）∪（1，+∞） 
∴函数f（x）的单调递增区间为（

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3

，1），单调递减区间为（-∞，

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）及（1，+∞）．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，着重考查导数与单调性间的关系及应用，属于中档题．